Domínio e Imagem de Funções

Domínio e imagem são dois conceitos fundamentais no estudo de funções matemáticas. Eles definem, respectivamente, os valores de entrada que uma função pode receber e os valores de saída que ela pode produzir.

Domínio (D(f))

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis para a variável independente (x) para os quais a função está definida.

Exemplos:

1. Para f(x) = x², o domínio são todos os números reais: D(f) = ℝ

2. Para f(x) = \frac{1}{x}, o domínio é ℝ exceto x=0: D(f) = ℝ \setminus \{0\}

3. Para f(x) = √x, o domínio é x ≥ 0: D(f) = [0, +∞[

Imagem (Im(f))

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que a variável dependente (y ou f(x)) pode assumir.

Exemplos:

1. Para f(x) = x², a imagem é y ≥ 0: Im(f) = [0, +∞[

2. Para f(x) = \frac{1}{x}, a imagem é ℝ exceto y=0: Im(f) = ℝ \setminus \{0\}

3. Para f(x) = √x, a imagem é y ≥ 0: Im(f) = [0, +∞[

Como determinar domínio e imagem

Para o domínio:

Identifique restrições na função:
- Denominadores não podem ser zero
- Expressões sob raízes pares devem ser ≥ 0
- Logaritmos só aceitam argumentos positivos
Resolva as desigualdades resultantes
Expresse o conjunto solução em notação matemática

Para a imagem:

Analise o comportamento da função:
- Valores mínimos e máximos
- Assíntotas horizontais
- Transformações gráficas
Se possível, inverta a função para encontrar os valores de y possíveis
Use cálculo diferencial para funções mais complexas

Representação gráfica

Exemplo completo

Considere a função f(x) = √(4 - x²)

Domínio:
4 - x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 4 ⇒ -2 ≤ x ≤ 2
D(f) = [-2, 2]

Imagem:
Como √(4 - x²) varia de √0 a √4 ⇒ 0 ≤ f(x) ≤ 2
Im(f) = [0, 2]